原标题：用最不专业的言语来介绍一下专业的p进数

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原文作者：DAVE RICHESON，狄金森学院数学教授。

翻译作者，吹牛皮出洋相，哆嗒数学网翻译组成员。

校正：Math001

我不是搞数论的，但我一直对p进数(p-adic numbers)有一种悠远的沉迷。我有一张关于一些我想要写一写展现在我的博客上的“简练数学主题”的清单，p进数就在那张清单上，因而我很快乐在2008年11月的那一期的《大学数学杂志》(College Mathematics Journal)上看见了由 Andrew Rich 编撰的，标题叫做《左撇子数》的一篇有关p进数的风趣的文章。

一般的p进数的结构办法对非专业技术人员来说适当杂乱，这儿仅仅是简略地介绍它的思维。

咱们从有理数开端。有理数集是能够被写成分数的数的调集。有理数的比如有4,13,2.1，22/7,0.333333…有理数中有许多的“洞”，添补这些“洞”的办法也有若干种。

从有理数走到实数——咱们用一般的添补这些“洞”的思维办法发明出了实数的调集。举例来说，咱们想让有理数列3，3.1，3.14，3.141,3.1415,3.14159…收敛，所以咱们发明了一个叫π的新数来作为这个数列的极限点。要想了解这件事咱们应该清晰什么叫“迫临”，按朴素的一般了解，假如两个数数位上的数码向右数时有很长一段是共同的，那么这两个数便是“迫临”的。

怎么从有理数到p进数？咱们用相似的技巧来结构p进数，不同之处在于咱们挑选了一个新的关于“迫临”的界说。（当咱们评论p进数时，p是某个特别的数，一般是素数，且数的数码为0，…，p-1。）现在假如两个数数位上的数码向左数时有很长一段是相同的，那么咱们称这两个数是“迫临”的。所以10进数0.03，0.53，6.53，96.53，196.53，1196.53，21196.53…变得越来越接近某个数。

一般的实数，在小数点左面只要有限位数，而在小数点右边可能有无限位数。可是，如咱们所见，p进数总是能够被写成小数点右边有有有限位数，而小数点左面可能有无限多位数码的方法（这也是为什么Rich称它们为“左撇子数”）。举个比如，33.333333…不是一个10进数，可是…333333.33是。特别地，上一段落给出的数列收敛到某个10进数…21196.53。这儿咱们给出这种结构的一些比较酷炫的定论。

1.加法。咱们咱们能够对两个p进数相加。这儿有个10进数的比如——正常相加，向左进位。（注意到加法是从右向左进行的，所以无限位p进数的加法比无限位实数的加法要简单许多。）

2.乘法。像加法相同，两个p进数的乘法也是可行的，并且施行起来也比实数简单许多。

3.减法。p进数里没必要为负数符号一个负号（-）。比如说，作为一个10进数，咱们咱们能够把-16写成…999984。要想证明这一点，咱们只需要观察到16+(…999984)=0：

相似地，咱们咱们能够证明每个p进数都有这样一个“正相反数”，所以咱们往往会把减法转化成加法来做。

4.p进有理数。每个p进有理数都能够被写成小数点右边有有限多位数码的方法。例如，咱们一般会以为1/3等于0.3333…，可是在10进数中咱们会把它写成…666667。要证明这一点，咱们只需要观察到(…666667)*3=1:

此外，Rich在文章中给了证明，一个p进数是有理数当且仅当它的小数点左面的数位上的数码向左无限循环（这与实数的景象构成一种美丽的对称，在实数中一个数是有理数当且仅当它的小数点右边的数位上的数码向右无限循环。）

5.除法。除法会怎么样呢？Rich在文章中阐明，把两个10进数相除一般可行，但不总是能够。费事之处在于可能有两个非零的10进数x和y满意xy=0。细节能够拜见那篇文章。可是咱们要要点指出，假如p是素数，那么这种状况不会发作。当p时素数时，每个非零的p进数都有一个倒数，这时咱们就能够对两个这样的数做除法。

6.序联系。这是关于p进数的最终一个古怪的现实。众所周知假如x和y是两个不相等的实数，所以要么x<y建立，要么y<x建立。可是，在p进数中没有这样的线性序联系。

7. 来点高档数学概念——数学上有更多方法来描绘这些定论。假如p是素数，那么p进数构成了一个包括有理数的齐备衡量空间（它是有理数的齐备化），且是一个域。（注意到由于除法的问题，当p不是素数时，p进数不再是域，仅仅是一个环）

要想了解更多细节，比如和证明，能够拜见Andrew Rich的好文章“左撇子数”。

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